Archivo para junio, 2012

En toda la literatura se reporte que luego de plantear la definición de espacio de estado llegan a la siguientes ecuaciones:

x'(t) = f(x,u,t)

y(t) = g(x,u,t)

que son la ecuación de estado y la ecuación de la salida respectivamente. Si las funciones vectoriales f(x,u,t) y/o g(x,u,t) involucran explícitamente el tiempo “t”, el sistema se denomina: sistema variante con el tiempo.

Si se linealizan las ecuaciones mencionadas alrededor del estado de operación, tenemos las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:

x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

en donde A(t) se denomina matriz de estado, B(t) matriz de entrada, C(t) matriz de salida y D(t) matriz de transmisión directa. Un diagrama de bloques que representa estas dos últimas ecuaciones se da a continuación.

Si las funciones vectoriales f(x,u,t) y g(x,u,t) no involucran el tiempo “t” explícitamente, el sistema de denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso, las ecuaciones se simplifican a:

x'(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

en donde la primera ecuación es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo, y la segunda ecuación, es la ecuación de salida para el mismo sistema.

Estado.

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t=to, junto con el conocimiento de la entrada para t >= to, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t >=to. Observe que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los estados físicos; se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.

Variables de Estado.

Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Si se necesitan al menos “n” variables x1, x2, … , xn para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t>=t0 y se especifica el estado inicial en t = t0, el estado futuro del sistema se determina por completo), tales “n” variables son un conjunto de variables de estado.

Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles y observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medibles ni observables pueden seleccionarse como variables de estado. Tal libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espadio de estados. Sin embargo, en la práctica es conveniente elegir cantidades que se midan con facilidad para las variables de estado, si es posible, debido a que las leyes de control óptimo requerirán la realimentación de todas las variables de estado con un ponderación conveniente.

Vector de Estado.

Si se necesitan “n” variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas “n” variables de estado se consideran los “n” componentes de un vector “x”. Tal vector se denomina: vector de estado: Por  tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se especifica la entrada u(t) para t>=t0.

Espacio de Estados.

El espacio de “n” dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, … , el eje xn, de denomina: espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.